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Syllabus ANUM
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Crédits : 4

ANUM
Analyse Numérique
Numerical Analysis

Coef : 4
VH Cours : 30.00
VH TD : 30.00
Pré-requis :
Analyse et algèbre linéaire

Ingénierie des Compétences

Familles de Compétences
  • CF2 : Modéliser des systèmes complexes
Type de compétence: TEC : Technique, MET : Méthodologique, MOD : Modélisation, OPE : Opérationnel,
Niveau de compétence:
Base Intermédiaire Avancé


Famille de Compétence Compétence Elément de Compétence Type
CF2 C2.1: Modéliser numériquement un système complexe C21.1: Exploiter les méthodes numériques pour modéliser des systèmes complexes linéaires non linéraires MOD
C21.2: Programmer des méthodes numériques pour modéliser des systèmes complexes TEC

Description du programme de la matière

Objectifs:

L'analyse numérique est l'étude des méthodes permettant d'évaluer numériquement des nombres, des fonctions .... C’est un outil essentiel pour l'ingénieur. La modélisation de la majorité des situations réelles (le classement des pages web, le traitement d’images, l’optimisation de formes, le transfert de la chaleur, les écoulements …) conduit à des problèmes dont la résolution mathématique exacte  est impossible vu leur complexité numérique. On est donc conduit à chercher des solutions approchées par des algorithmes numériques que l'on programme sur ordinateur. L’analyse numérique a pour objet de construire et d’étudier ces méthodes de résolution.

Contenu:

I. Résolution des systèmes linéaires par des méthodes directes
1. Rappels d'analyse matricielle
2. Exemple motivant.
3. Position du problème.
4. Rappels et complément sur l'analyse matricielle.
5. Conditionnement.
6. Méthode de Gauss.
7. Méthode LU.
8. Méthode de Cholesky.
9. Méthode QR.
II. Résolution des systèmes linéaires par des méthodes itératives
1. Généralités sur les méthodes itératives classiques pour les systèmes linéaires.
2. Méthode de Jacobi.
3. Méthode de Gauss-Seidel.
4. Méthode de relaxation.
5. Etude de l'erreur d'approximation.
III. Calcul numérique des valeurs propres
1. Exemple motivant.
2. Localisation des valeurs propres.
3. Calcul du polynôme caractéristique par la méthode Krylov.
4. Méthode de la puissance itérée :
- Approximation de la valeur propre de plus grand module.
- Approximation de la valeur propre de plus petit module : La méthode de la puissance inverse.
- Calcul d’autres éléments propres : méthode de déflation.
5. Méthode de Jacobi de calcul des valeurs et vecteurs propres
6. Méthode QR. Jacobi de calcul des valeurs et vecteurs propres
IV. Résolution des équations non linéaires de la forme f(x)=0
1. Exemple motivant.
2. Méthode de Dichotomie.
3. Méthodes du point fixe
- Principe
- Convergence et ordre de convergence.
- Cas particulier : Méthode de Newton.
V. Interpolation polynomiale
1. Exemple motivant.
2. Interpolation de Lagrange. Par la
- résolution de système linéaire de type Vandermonde.
- méthode de Lagrange.
- méthode des différences divisées
- méthode des différences finies
3. Estimation de l’erreur d'interpolation de Lagrange.
VI. Intégration numérique
1. Exemple motivant.
2. Méthode générale (formules de quadrature).
3. Formules de quadrature de Newton-Cotes :
Simples.
Composites.
4. Etude de l'erreur.

Travail Personnel:

Programmer les algorithmes sous Matlab

Bibliographie:

Polycopié du cours.
P.G. Ciarlet, « Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation- Cours et exercices corrigés », Dunod, 2006
M. Schatzman, « Analyse numérique - une approche mathématique- cours et exercices », Dunod, 2001
M. Sibony, J. Mardon, « Systèmes linéaires et non linéaires, Analyse numérique T1 », Hermann, 1984.

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